Análise Numérica

A análise numérica é o estudo de algoritmos para os problemas de matemática contínua (para distinguir da matemática discreta).
One of the earliest mathematical writings is the Babylonian tablet YBC 7289, which gives a sexagesimal numerical approximation of Um dos primeiros escritos de matemática é o comprimido babilônico YBC 7289, que dá uma aproximação sexagesimal numérica , the length of the diagonal in a unit square. Being able to compute the sides of a triangle (and hence, being able to compute square roots) is extremely important, for instance, in carpentry and construction. O comprimento da diagonal de um quadrado unitário. Ser capaz de calcular os lados de um triângulo (e, portanto, ser capaz de computar raízes quadradas) é extremamente importante, por exemplo, na carpintaria e construção. Numerical analysis continues this long tradition of practical mathematical calculations. Análise Numérica continua esta longa tradição de práticas de cálculos matemáticos. Much like the Babylonian approximation to Bem como a aproximação de Babilônia , modern numerical analysis does not seek exact answers, because exact answers are often impossible to obtain in practice. , Análise numérica moderna não busca respostas exatas, pois as respostas exatas são muitas vezes impossíveis de obter na prática. Instead, much of numerical analysis is concerned with obtaining approximate solutions while maintaining reasonable bounds on errors. Em vez disso, grande parte da análise numérica está preocupado com a obtenção de soluções aproximadas, mantendo limites razoáveis em erros.
Numerical analysis naturally finds applications in all fields of engineering and the physical sciences, but in the 21st century, the life sciences and even the arts have adopted elements of scientific computations. Ordinary differential equations appear in the movement of heavenly bodies (planets, stars and galaxies) ; optimization occurs in portfolio management; numerical linear algebra is important for data analysis, stochastic differential equations and Markov chains are essential in simulating living cells for medicine and biology. Análise numérica, naturalmente, encontra aplicações em todas as áreas da engenharia e das ciências físicas, mas no século 21, as ciências da vida e até mesmo as artes adotaram elementos de cálculos científicos. Equações diferenciais aparecem no movimento dos corpos celestes (planetas, estrelas e galáxias); optimização ocorre na gestão de carteiras; álgebra linear numérica é importante para a análise dos dados, equações diferenciais estocásticas e cadeias de Markov são essenciais na simulação de células vivas para a medicina e biologia.
Before the advent of modern computers numerical methods often depended on hand interpolation in large printed tables. Antes do advento dos computadores modernos métodos numéricos, muitas vezes dependia de interpolação mão em grandes tabelas impressas. Since the mid 20th century, computers calculate the required functions instead. Desde meados do século 20, os computadores calculam as funções necessárias em seu lugar. The interpolation algorithms nevertheless may be used as part of the software for solving differential equations . Os algoritmos de interpolação, no entanto, pode ser utilizado como parte do software para a resolução de equações diferenciais.

Introdução Geral

O objectivo global do campo da análise numérica é o projeto e análise de técnicas para dar soluções aproximadas, mas preciso de problemas difíceis, a variedade do que é sugerido pelo seguinte.
Advanced numerical methods are essential in making numerical weather prediction feasible. Advanced métodos numéricos são essenciais na tomada de previsão numérica de tempo possível.
Computing the trajectory of a spacecraft requires the accurate numerical solution of a system of ordinary differential equations . Calculando a trajetória de uma nave espacial requer a solução numérica exata de um sistema de equações diferenciais ordinárias.
Car companies can improve the crash safety of their vehicles by using computer simulations of car crashes. As companhias de carro pode melhorar a segurança durante a colisão dos veículos, utilizando simulações de computador de acidentes de carro. Such simulations essentially consist of solving partial differential equations numerically. Estas simulações consistem essencialmente em resolver equações diferenciais parciais numericamente.
Hedge funds (private investment funds) use tools from all fields of numerical analysis to calculate the value of stocks and derivatives more precisely than other market participants. Os fundos de hedge (fundos de investimento privado) utilizar ferramentas de todos os campos de análise numérica para calcular o valor de ações e derivativos, mais precisamente do que outros participantes do mercado.
Airlines use sophisticated optimization algorithms to decide ticket prices, airplane and crew assignments and fuel needs. Aéreas utilizam sofisticados algoritmos de otimização para decidir os preços dos bilhetes, avião e tripulação as atribuições e as necessidades de combustível. This field is also called operations research . Este campo é também chamado de operações de investigação.
Insurance companies use numerical programs for actuarial analysis. As companhias de seguros usam programas numéricos para análise atuarial.
The rest of this section outlines several important themes of numerical analysis. O restante desta seção apresenta vários temas importantes da análise numérica.

História

The field of numerical analysis predates the invention of modern computers by many centuries. Linear interpolation was already in use more than 2000 years ago. O campo da análise numérica é anterior à invenção dos computadores modernos, por muitos séculos. Interpolação linear já estava em uso há mais de 2000 anos atrás. Many great mathematicians of the past were preoccupied by numerical analysis, as is obvious from the names of important algorithms like Newton's method , Lagrange interpolation polynomial , Gaussian elimination , or Euler's method . Muitos grandes matemáticos do passado estava preocupado com a análise numérica, como é óbvio, os nomes dos algoritmos importantes, como o método de Newton, interpolação polinomial de Lagrange, de eliminação de Gauss, ou método de Euler.
To facilitate computations by hand, large books were produced with formulas and tables of data such as interpolation points and function coefficients. Para facilitar os cálculos à mão, grandes livros foram produzidos com fórmulas e tabelas de dados, como pontos de interpolação e os coeficientes da função. Using these tables, often calculated out to 16 decimal places or more for some functions, one could look up values to plug into the formulas given and achieve very good numerical estimates of some functions. Usando esses quadros, muitas vezes fora calculado para 16 ou mais casas decimais para algumas funções, pode-se pesquisar valores de ligar para a fórmulas dadas e alcançar muito bom estimativas numéricas de algumas funções. The canonical work in the field is the NIST publication edited by Abramowitz and Stegun , a 1000-plus page book of a very large number of commonly used formulas and functions and their values at many points. O trabalho canônico no campo é a publicação do NIST editado por Abramowitz e Stegun, 1000-mais uma página do livro de um grande número de fórmulas usadas com freqüência e as funções e os seus valores em muitos pontos. The function values are no longer very useful when a computer is available, but the large listing of formulas can still be very handy. Os valores da função já não são muito úteis quando um computador está disponível, mas a grande lista de fórmulas ainda pode ser muito útil.
The mechanical calculator was also developed as a tool for hand computation. A calculadora mecânica também foi desenvolvido como uma ferramenta para a computação de mão. These calculators evolved into electronic computers in the 1940s, and it was then found that these computers were also useful for administrative purposes. Estas calculadoras evoluíram em computadores eletrônicos nos anos 1940, e foi então descobriram que estes computadores também foram úteis para fins administrativos. But the invention of the computer also influenced the field of numerical analysis, since now longer and more complicated calculations could be done. Mas a invenção do computador também influenciaram o campo de análise numérica, já que agora maior e mais complicado cálculo poderia ser feito.

Métodos diretos e iterativos

Direct vs iterative methods Direct vs métodos iterativos
Consider the problem of solving Considere o problema de resolver
3 x 3 +4=28 3 x 3 +4 = 28
for the unknown quantity x . para a quantidade x desconhecido.
Direct Method Método Direto
3 x 3 + 4 = 28. 3 x 3 + 4 = 28.
Subtract 4 Subtrair 4
3 x 3 = 24. 3 x 3 = 24.
Divide by 3 Dividir por 3
x 3 = 8. x 3 = 8.
Take cube roots Take raiz cúbica
x = 2. x = 2.
SHOULD BE NOTED THAT THE BISECTION METHOD BELOW ISN'T EXACTLY WHAT IS DESCRIBED ON THE BISECTION PAGE Convém observar que MÉTODO DE BISECTION BELOW é exatamente o que está descrito na PÁGINA BISECTION
For the iterative method, apply the bisection method to f ( x ) = 3 x 3 - 24. Para o método iterativo, aplicar o método da bissecção para f (x) = 3 x 3 - 24. The initial values are a = 0, b = 3, f ( a ) = -24, f ( b ) = 57. Os valores iniciais são a = 0, b = 3, f (a) = -24, f (b) = 57.
Iterative Method Método Iterativo
a a
b b
mid mid
f (mid) f (médio)
0 0
3 3
1.5 1,5
-13.875 -13,875
1.5 1,5
3 3
2.25 2,25
10.17... 10,17 ...
1.5 1,5
2.25 2,25
1.875 1,875
-4.22... -4,22 ...
1.875 1,875
2.25 2,25
2.0625 2,0625
2.32... 2,32 ...
We conclude from this table that the solution is between 1.875 and 2.0625. Nós concluímos a partir desta tabela que a solução está entre 1,875 e 2,0625. The algorithm might return any number in that range with an error less than 0.2. O algoritmo pode retornar qualquer número nesse intervalo, com um erro inferior a 0,2.
Discretization and numerical integration diferenciação e integração numérica

In a two hour race, we have measured the speed of the car at three instants and recorded them in the following table. Em uma corrida de duas horas, temos que medir a velocidade do carro em três instantes e as gravou na tabela a seguir. Time 0:20 1:00 1:40 Hora 0:20 1:00 1:40
km/h 140 150 180 kmh 140 150 180
A discretization would be to say that the speed of the car was constant from 0:00 to 0:40, then from 0:40 to 1:20 and finally from 1:20 to 2:00. A discretização seria dizer que a velocidade do carro era constante 0:00 - 0:40, depois 0:40 - 1:20 e, finalmente, 1:20 - 2:00. For instance, the total distance traveled in the first 40 minutes is approximately (2/3h x 140 km/h)=93.3 km. Por exemplo, a distância total percorrida nos primeiros 40 minutos é de aproximadamente (2/3h x 140 km / h) = 93,3 km. This would allow us to estimate the total distance traveled as 93.3 km + 100 km + 120 km = 313.3 km, which is an example of numerical integration (see below) using a Riemann sum , because displacement is the integral of velocity. Isto nos permite estimar a distância total percorrida de 93,3 km + 100 km + 120 km = 313,3 km, que é um exemplo de integração numérica (ver abaixo), usando uma soma de Riemann, porque é o deslocamento integral de velocidade.
Ill posed problem : Take the function f ( x ) = 1/( x − 1). Mal postos problema: Pegue a função f (x) = 1 / (x - 1). Note that f (1.1) = 10 and f (1.001) = 1000: a change in x of less than 0.1 turns into a change in f ( x ) of nearly 1000. Note que f (1,1) = 10 e F (1,001) = 1000: uma mudança em x de menos de 0,1 se transforma em uma mudança de f (x) de cerca de 1000. Evaluating f ( x ) near x = 1 is an ill-conditioned problem. Avaliar f (x) perto de x = 1 é um problema mal-condicionado.
Well-posed problem : By contrast, the function Bem colocados problema: Em contrapartida, a função is continuous and so evaluating it is well-posed, at least for x being not close to zero. é contínua e por isso a avaliação é bem colocados, pelo menos para x não sendo próxima a zero.
Direct methods compute the solution to a problem in a finite number of steps. Os métodos directos para calcular a solução para um problema em um número finito de etapas. These methods would give the precise answer if they were performed in infinite precision arithmetic . Estes métodos dariam a resposta precisa se eles foram executados em precisão infinito aritmético. Examples include Gaussian elimination , the QR factorization method for solving systems of linear equations , and the simplex method of linear programming . Os exemplos incluem a eliminação de Gauss, o método de fatoração QR para resolver sistemas de equações lineares eo método simplex da programação linear. In practice, finite precision is used and the result is an approximation of the true solution (assuming stability ). Na prática, precisão finito é utilizado eo resultado é uma aproximação da solução de verdade (assumindo que a estabilidade).
In contrast to direct methods, iterative methods are not expected to terminate in a number of steps. Em contraste com métodos diretos, métodos iterativos não são esperados para terminar em um número de passos. Starting from an initial guess, iterative methods form successive approximations that converge to the exact solution only in the limit. Partindo de uma estimativa inicial, métodos iterativos formulário de aproximações sucessivas, que converge para a solução exata somente no limite. A convergence criterion is specified in order to decide when a sufficiently accurate solution has (hopefully) been found. Um critério de convergência é especificado a fim de decidir quando uma solução suficientemente precisa ter (espero) foi encontrado. Even using infinite precision arithmetic these methods would not reach the solution within a finite number of steps (in general). Mesmo usando precisão infinito aritmético esses métodos não chegaria a solução dentro de um número finito de etapas (em geral). Examples include Newton's method , the bisection method , and Jacobi iteration . Exemplos incluem o método de Newton, o método da bissecção e iteração de Jacobi. In computational matrix algebra, iterative methods are generally needed for large problems. Em álgebra matricial computacional, métodos iterativos são geralmente necessários para grandes problemas.
Iterative methods are more common than direct methods in numerical analysis. Métodos iterativos são mais comuns do que os métodos diretos de análise numérica. Some methods are direct in principle but are usually used as though they were not, eg GMRES and the conjugate gradient method . Alguns métodos são diretos, em princípio, mas geralmente são usados como se fossem, não GMRES por exemplo, eo método do gradiente conjugado. For these methods the number of steps needed to obtain the exact solution is so large that an approximation is accepted in the same manner as for an iterative method. Para estes métodos, o número de passos necessários para obter a solução exacta é tão grande que uma aproximação é aceite da mesma forma que para um método iterativo.

Discretização

Furthermore, continuous problems must sometimes be replaced by a discrete problem whose solution is known to approximate that of the continuous problem; this process is called discretization . Além disso, os problemas contínuos devem por vezes ser substituída por uma discreta problema cuja solução é sabido que a aproximação do problema contínuo, este processo é chamado de discretização. For example, the solution of a differential equation is a function. Por exemplo, a solução de uma equação diferencial é uma função. This function must be represented by a finite amount of data, for instance by its value at a finite number of points at its domain, even though this domain is a continuum. Esta função deve ser representada por uma quantidade finita de dados, por exemplo, o seu valor em um número finito de pontos em seu domínio, mesmo que este domínio é um continuum.

A geração e propagação de erros

The study of errors forms an important part of numerical analysis. O estudo dos erros é parte importante da análise numérica. There are several ways in which error can be introduced in the solution of the problem. Existem várias maneiras de erro pode ser introduzido na solução do problema.

Round-off

Round-off errors arise because it is impossible to represent all real numbers exactly on a finite-state machine (which is what all practical digital computers are). Erros de arredondamento surgem porque é impossível representar todos os números reais exatamente em uma máquina de estado finito (o que é que todos os computadores prática digital são).

truncamento eo erro de discretização

Truncation errors are committed when an iterative method is terminated or a mathematical procedure is approximated, and the approximate solution differs from the exact solution. Erros de truncamento são cometidos quando um método iterativo é finalizado ou um procedimento matemático é aproximado, ea solução aproximada é diferente da solução exata. Similarly, discretization induces a discretization error because the solution of the discrete problem does not coincide with the solution of the continuous problem. Da mesma forma, a discretização induz um erro de discretização, porque a solução do problema discreto não coincide com a solução do problema contínuo. For instance, in the iteration in the sidebar to compute the solution of 3 x 3 + 4 = 28 , after 10 or so iterations, we conclude that the root is roughly 1.99 (for example). Por exemplo, na iteração na barra lateral para calcular a solução de 3 x 3 + 4 = 28, depois de 10 ou mais iterações, podemos concluir que a raiz é de aproximadamente 1,99 (por exemplo). We therefore have a truncation error of 0.01. Temos, portanto, um erro de truncamento de 0,01.
Once an error is generated, it will generally propagate through the calculation. Uma vez que um erro é gerado, ele geralmente se propagam através do cálculo. For instance, we have already noted that the operation + on a calculator (or a computer) is inexact. Por exemplo, já notamos que a operação + em uma calculadora (ou computador) é inexata. It follows that a calculation of the type a+b+c+d+e is even more inexact. Daqui resulta que um cálculo do tipo a + b + c + d + e é ainda mais impreciso.
What does it mean when we say that the truncation error is created when we approximate a mathematical procedure. O que significa quando dizemos que o erro de truncamento é criado quando se aproximar de um procedimento matemático. We know that to integrate a function exactly requires one to find the sum of infinite trapezoids. Sabemos que para integrar a função exige exatamente um para encontrar a soma dos trapézios infinito. But numerically one can find the sum of only finite trapezoids, and hence the approximation of the mathematical procedure. Numericamente, mas pode-se encontrar a soma de apenas trapézios finito e, portanto, a aproximação do processo matemático. Similarly, to differentiate a function, the differential element approaches to zero but numerically we can only choose a finite value of the differential element. Da mesma forma, para diferenciar uma função, as abordagens elemento diferencial numericamente a zero, mas só podemos escolher um valor finito do elemento diferencial.

Estabilidade numérica e bem colocado problemas

Numerical stability is an important notion in numerical analysis. Estabilidade numérica é um conceito importante na análise numérica. An algorithm is called numerically stable if an error, whatever its cause, does not grow to be much larger during the calculation. Um algoritmo é chamado numericamente estável se um erro, qualquer que seja sua causa, não cresce para ser muito maior durante o cálculo. This happens if the problem is well-conditioned , meaning that the solution changes by only a small amount if the problem data are changed by a small amount. Isso acontece se o problema é bem-condicionado, o que significa que as mudanças solução, apenas uma pequena quantidade de dados se o problema são alterados por uma pequena quantia. To the contrary, if a problem is ill-conditioned , then any small error in the data will grow to be a large error. Ao contrário, se um problema é mal-condicionado, então qualquer pequeno erro nos dados crescerá para ser um grande erro.
Both the original problem and the algorithm used to solve that problem can be well-conditioned and/or ill-conditioned , and any combination is possible. Tanto o problema original e do algoritmo usado para resolver esse problema pode ser bem-condicionado e / ou mal-condicionado, e qualquer combinação é possível.
So an algorithm that solves a well-conditioned problem may be either numerically stable or numerically unstable. Assim, um algoritmo que resolve um problema bem condicionado pode ser numericamente estáveis ou numericamente instável. An art of numerical analysis is to find a stable algorithm for solving a well-posed mathematical problem. Uma arte de análise numérica é encontrar um algoritmo estável para a resolução de um bem-colocados problema matemático. For instance, computing the square root of 2 (which is roughly 1.41421) is a well-posed problem. Por exemplo, o cálculo da raiz quadrada de 2 (que é de aproximadamente 1,41421) é um problema bem colocado. Many algorithms solve this problem by starting with an initial approximation x 1 to Muitos algoritmos resolver este problema, iniciando com uma aproximação inicial x 1 para , for instance x 1 =1.4, and then computing improved guesses x 2 , x 3 , etc... , Por exemplo x 1 = 1,4 e, em seguida computação palpites melhorou x 2, x 3, etc .. One such method is the famous Babylonian method , which is given by x k +1 = x k /2 + 1/ x k . Um tal método é o método babilônio famoso, que é dada por x k +1 = x k / 2 + 1 / x k. Another iteration, which we will call Method X, is given by x k + 1 = ( x k 2 −2) 2 + x k . [ 3 ] We have calculated a few iterations of each scheme in table form below, with initial guesses x 1 = 1.4 and x 1 = 1.42. Outra iteração, que chamaremos método X, é dada por x k + 1 = (k x 2 -2) 2 + x k. [3] Temos calculado algumas iterações de cada esquema em forma de tabela abaixo, com suposições iniciais x 1 = 1,4 e x 1 = 1,42.
Babylonian Babilônico
Babylonian Babilônico
Method X Método X
Method X Método X
x 1 = 1.4 x 1 = 1,4
x 1 = 1.42 x 1 = 1,42
x 1 = 1.4 x 1 = 1,4
x 1 = 1.42 x 1 = 1,42
x 2 = 1.4142857... x 2 = 1,4142857 ...
x 2 = 1.41422535... x 2 = 1,41422535 ...
x 2 = 1.4016 x 2 = 1,4016
x 2 = 1.42026896 x 2 = 1,42026896
x 3 = 1.414213564... x 3 = 1,414213564 ...
x 3 = 1.41421356242... x 3 = 1,41421356242 ...
x 3 = 1.4028614... x 3 = 1,4028614 ...
x 3 = 1.42056... x 3 = 1,42056 ...
... ...
... ...
x 1000000 = 1.41421... x 1000000 = 1,41421 ...
x 28 = 7280.2284... x 28 = 7280,2284 ...
Observe that the Babylonian method converges fast regardless of the initial guess, whereas Method X converges extremely slowly with initial guess 1.4 and diverges for initial guess 1.42. Observe que o método babilônico converge rápido, independentemente do valor inicial, enquanto o método X converge muito lentamente, com valor inicial de 1,4 e diverge para estimativa inicial de 1,42. Hence, the Babylonian method is numerically stable, while Method X is numerically unstable. Assim, o método babilônio é numericamente estável, enquanto método X é numericamente instável.

Áreas de estudo

The field of numerical analysis is divided into different disciplines according to the problem that is to be solved. O campo da análise numérica é dividido em diferentes disciplinas, de acordo com o problema que está a ser resolvido.
[ edit ] Computing values of functions [Editar] Valores de computação de funções
Interpolation : We have observed the temperature to vary from 20 degrees Celsius at 1:00 to 14 degrees at 3:00. Interpolação: Temos observado que a temperatura variar de 20 graus Celsius às 1:00 a 14 graus às 3:00. A linear interpolation of this data would conclude that it was 17 degrees at 2:00 and 18.5 degrees at 1:30pm. A interpolação linear desses dados poderia concluir que ela era de 17 graus às 2:00, e 18,5 graus às 1:30 pm.
Extrapolation : If the gross domestic product of a country has been growing an average of 5% per year and was 100 billion dollars last year, we might extrapolate that it will be 105 billion dollars this year. Extrapolação: Se o produto interno bruto de um país vem crescendo uma média de 5% ao ano e foi de 100 bilhões de dólares no ano passado, podemos extrapolar que será 105 bilhões de dólares este ano.

Regression : In linear regression, given n points, we compute a line that passes as close as possible to those n points. Regressão: Na regressão linear, tendo n pontos, podemos calcular uma linha que passa tão perto quanto possível dos n pontos.

Optimization : Say you sell lemonade at a lemonade stand , and notice that at $1, you can sell 197 glasses of lemonade per day, and that for each increase of $0.01, you will sell one less lemonade per day. Otimização: Digamos que você vender limonada em uma banca de limonada, e aviso que em US $ 1, você pode vender 197 copos de limonada por dia, e que para cada aumento de US $ 0,01, você vai vender uma limonada menos por dia. If you could charge $1.485, you would maximize your profit, but due to the constraint of having to charge a whole cent amount, charging $1.49 per glass will yield the maximum income of $220.52 per day. Se você pudesse cobrar $ 1,485, você maximizar seu lucro, mas devido ao constrangimento de ter que carregar uma quantidade cento inteiro, cobrando $ 1,49 por vidro irá produzir o rendimento máximo de 220,52 dólares por dia.

Differential equation : If you set up 100 fans to blow air from one end of the room to the other and then you drop a feather into the wind, what happens? Equação diferencial: Se você configurar 100 ventiladores para soprar ar de uma extremidade do quarto para o outro e depois soltar uma pluma ao vento, o que acontece? The feather will follow the air currents, which may be very complex. A pena vai seguir as correntes de ar, que pode ser muito complexa. One approximation is to measure the speed at which the air is blowing near the feather every second, and advance the simulated feather as if it were moving in a straight line at that same speed for one second, before measuring the wind speed again. Uma aproximação é medir a velocidade com que o ar está soprando perto da pena a cada segundo, e fazer avançar a pena simulado como se estivesse se movendo em linha reta na mesma velocidade, por um segundo, antes de medir a velocidade do vento de novo. This is called the Euler method for solving an ordinary differential equation. Este é o chamado método de Euler para resolver uma equação diferencial ordinária.
One of the simplest problems is the evaluation of a function at a given point. Um dos problemas mais simples é a avaliação de uma função em um determinado ponto. The most straightforward approach, of just plugging in the number in the formula is sometimes not very efficient. A abordagem mais simples, de apenas ligar o número na fórmula às vezes não é muito eficiente. For polynomials, a better approach is using the Horner scheme , since it reduces the necessary number of multiplications and additions. Para polinômios, uma abordagem melhor é usar o esquema de Horner, uma vez que reduz o número necessário de multiplicações e adições. Generally, it is important to estimate and control round-off errors arising from the use of floating point arithmetic. Geralmente, é importante para estimar e redondo de controle-se erros decorrentes da utilização de aritmética de ponto flutuante.

Interpolação, extrapolação e regressão

Interpolation solves the following problem: given the value of some unknown function at a number of points, what value does that function have at some other point between the given points? Interpolação resolve o seguinte problema: dado o valor de alguma função desconhecida, um número de pontos, que valor tem essa função tem em algum outro ponto entre os pontos dados? A very simple method is to use linear interpolation , which assumes that the unknown function is linear between every pair of successive points. Um método muito simples é usar uma interpolação linear, que assume que a função desconhecida é linear entre cada par de pontos sucessivos. This can be generalized to polynomial interpolation , which is sometimes more accurate but suffers from Runge's phenomenon . Isso pode ser generalizado para a interpolação polinomial, que às vezes é mais preciso, mas sofre de fenômeno de Runge. Other interpolation methods use localized functions like splines or wavelets . Outros métodos de interpolação utilização localizada funções como estrias ou wavelets.
Extrapolation is very similar to interpolation, except that now we want to find the value of the unknown function at a point which is outside the given points. Extrapolação é muito semelhante ao de interpolação, exceto que agora queremos encontrar o valor da função desconhecida em um ponto que está fora dos pontos dados.
Regression is also similar, but it takes into account that the data is imprecise. Regressão também é semelhante, mas leva em conta que os dados são imprecisos. Given some points, and a measurement of the value of some function at these points (with an error), we want to determine the unknown function. Devido a alguns pontos, e uma medição do valor de alguma função nestes pontos (com um erro), queremos determinar a função desconhecida. The least squares -method is one popular way to achieve this. Os mínimos quadrados, método é uma maneira popular para conseguir isso.

Resolução de equações e sistemas de equações

Another fundamental problem is computing the solution of some given equation. Outro problema fundamental é a computação na solução de alguma equação dada. Two cases are commonly distinguished, depending on whether the equation is linear or not. Dois casos são geralmente distintos, dependendo se a equação é linear ou não. For instance, the equation 2 x + 5 = 3 is linear while 2 x 2 + 5 = 3 is not. Por exemplo, a equação 2 x + 5 = 3 é linear, enquanto 2 x 2 + 5 = 3 não é.
Much effort has been put in the development of methods for solving systems of linear equations . Muito esforço foi colocado no desenvolvimento de métodos para resolver sistemas de equações lineares. Standard direct methods, ie, methods that use some matrix decomposition are Gaussian elimination , LU decomposition , Cholesky decomposition for symmetric (or hermitian ) and positive-definite matrix , and QR decomposition for non-square matrices. Iterative methods such as the Jacobi method , Gauss–Seidel method , successive over-relaxation and conjugate gradient method are usually preferred for large systems. Standard métodos diretos, ou seja, métodos que utilizam algum decomposição da matriz são eliminação de Gauss, decomposição LU, decomposição de Cholesky para hermitianos (ou simétrico) ea matriz definida positiva, e QR decomposição para matrizes não quadradas métodos. Iterativo, como o método de Jacobi, método de Gauss-Seidel, sucessivas durante o relaxamento eo método do gradiente conjugado são geralmente preferidos para grandes sistemas.
Root-finding algorithms are used to solve nonlinear equations (they are so named since a root of a function is an argument for which the function yields zero). Root-finding algoritmos são usados para resolver equações lineares (eles são assim chamado desde a raiz de uma função é um argumento para que a função retorna zero). If the function is differentiable and the derivative is known, then Newton's method is a popular choice. Linearization is another technique for solving nonlinear equations. Se a função é diferenciável e derivada é conhecida, então o método de Newton é uma escolha popular. Linearização é uma outra técnica para resolver equações lineares.

Solução de problemas de autovalor ou valor singular

Several important problems can be phrased in terms of eigenvalue decompositions or singular value decompositions . Vários problemas importantes podem ser redigidas em termos de decomposições eigenvalue ou decomposições em valores singulares. For instance, the spectral image compression algorithm is based on the singular value decomposition. Por exemplo, o algoritmo de compressão de imagem espectral é baseado na decomposição em valores singulares. The corresponding tool in statistics is called principal component analysis. A ferramenta correspondente nas estatísticas é chamado de análise de componentes principais.

Otimização de problemas de pedir o ponto em que uma determinada função é maximizada (ou minimizada). Often, the point also has to satisfy some constraints . Muitas vezes, o ponto também tem que satisfazer algumas restrições.
The field of optimization is further split in several subfields, depending on the form of the objective function and the constraint. O campo de otimização está ainda dividido em vários sub-campos, dependendo da forma da função objetivo ea restrição. For instance, linear programming deals with the case that both the objective function and the constraints are linear. Por exemplo, trata de programação linear com o caso que tanto a função objetivo e as restrições são lineares. A famous method in linear programming is the simplex method . Um método famoso em programação linear é o método simplex.
The method of Lagrange multipliers can be used to reduce optimization problems with constraints to unconstrained optimization problems. O método de Lagrange pode ser usado para reduzir os problemas de otimização com restrições para problemas de otimização irrestrita.

Integração numérica, em alguns casos, também conhecido como quadratura numérica, pede o valor de uma integral definida. Popular methods use one of the Newton–Cotes formulas (like the midpoint rule or Simpson's rule ) or Gaussian quadrature . Os métodos populares usar uma das fórmulas de Newton-Cotes (como a regra do ponto médio ou a regra de Simpson) ou de quadratura de Gauss. These methods rely on a "divide and conquer" strategy, whereby an integral on a relatively large set is broken down into integrals on smaller sets. Estes métodos dependem de uma "dividir e conquistar" a estratégia, segundo a qual um integrante de um conjunto relativamente grande é dividido em integrais em conjuntos menores. In higher dimensions, where these methods become prohibitively expensive in terms of computational effort, one may use Monte Carlo or quasi-Monte Carlo methods (see Monte Carlo integration ), or, in modestly large dimensions, the method of sparse grids . Em dimensões superiores, onde estes métodos tornam-se proibitivamente caro em termos de esforço computacional, pode-se usar Monte Carlo ou métodos quasi-Monte Carlo (ver a integração de Monte Carlo), ou, na modesta grandes dimensões, o método de redes esparsas.

Equações diferenciais

Análise numérica também está preocupada com a computação (de forma aproximada) a solução de equações diferenciais, ambas as equações diferenciais ordinárias e equações diferenciais parciais.
Partial differential equations are solved by first discretizing the equation, bringing it into a finite-dimensional subspace. Equações diferenciais parciais são resolvidas pela primeira discretizing da equação, a torná-lo um subespaço finito-dimensional. This can be done by a finite element method , a finite difference method, or (particularly in engineering) a finite volume method . Isto pode ser feito por um método de elementos finitos, um método de diferenças finitas, ou (sobretudo em engenharia) um método de volumes finitos. The theoretical justification of these methods often involves theorems from functional analysis . A justificação teórica destes métodos envolve frequentemente teoremas da análise funcional. This reduces the problem to the solution of an algebraic equation. Isto reduz o problema para a solução de uma equação algébrica.

Software

Main articles: List of numerical analysis software and Comparison of numerical analysis software Ver artigo principal: Lista de software de análise numérica e Comparação de software de análise numérica
Since the late twentieth century, most algorithms are implemented in a variety of programming languages. Desde o final do século XX, a maioria dos algoritmos são implementados em uma variedade de linguagens de programação. The Netlib repository contains various collections of software routines for numerical problems, mostly in Fortran and C . O repositório Netlib contém várias coleções de rotinas de software para problemas numéricos, a maioria em Fortran e C. Commercial products implementing many different numerical algorithms include the IMSL and NAG libraries; a free alternative is the GNU Scientific Library . Produtos comerciais implementando diversos algoritmos numéricos incluem os IMSL e bibliotecas NAG; uma alternativa livre é o GNU Scientific Library.
There are several popular numerical computing applications such as MATLAB , S-PLUS , LabVIEW , and IDL as well as free and open source alternatives such as FreeMat , Scilab , GNU Octave (similar to Matlab), IT++ (a C++ library), R (similar to S-PLUS) and certain variants of Python . Existem vários populares aplicações de computação numérica, tais como o MATLAB, S-PLUS, LabVIEW, e IDL, bem como alternativas de código livre e aberto como FreeMat, Scilab, Octave GNU (similar ao Matlab), IT + + (uma biblioteca C + +), R ( variantes semelhante ao S-PLUS) e alguns dos Python. Performance varies widely: while vector and matrix operations are usually fast, scalar loops may vary in speed by more than an order of magnitude. [ 5 ] [ 6 ] O desempenho varia muito: enquanto vector e operações matriciais são geralmente rápidos, loops escalar podem variar na velocidade em mais de uma ordem de grandeza. [5] [6]
Many computer algebra systems such as Mathematica also benefit from the availability of arbitrary precision arithmetic which can provide more accurate results. Sistemas de álgebra Muitas computador, tais como Mathematica também se beneficiam da disponibilidade de aritmética de precisão arbitrária, que pode fornecer resultados mais precisos.
Also, any spreadsheet software can be used to solve simple problems relating to numerical analysis. Além disso, qualquer software de planilha eletrônica pode ser utilizada para resolver problemas simples relativos à análise numérica.